Fria ränder
Publicerad 2000-01-27
Professor Henrik Shahgholian vid Matematiska Institutionen, KTH, beviljades våren 2004 STINT-bidrag för samarbete med Mathematics Department, University of Texas, Austin, USA. Projektbidraget för de första två åren om SEK 800 000 är avsett för samarbete inom partiella differentialekvationer.
De matematiska problem som behandlas i samarbetsprojektet är relaterade till så kallade fria ränder, en gren inom partiella differentialekvationer. Det senare uppkommer i beskrivning av fenomen inom naturen och av industriella processer såsom värme, täthet hos bakteriekultur, flöde och dyl.
Förutom University of Austin, Texas som är huvudnod ingår flera andra noder inom ramen för projektet, varav University of Chicago, Tokyo University och Purdue University är bland dessa.
Teorin för partiella differentialekvationer (PDE) har utvecklats starkt de senaste femtio åren. Den handlar bl.a. om att bevisa att ekvationerna vanligen har lösningar, att dessa är entydiga samt att beskriva lösningarnas geometriska och kvalitativa egenskaper. Utvecklingen av numeriska och andra metoder har också lett till en mycket god uppskattning av lösningarna. Det senare har haft ett mycket stor inverkan inom industriella tillämpningar genom att matematiska modeller har ersatt kostsamma försök för att hitta bästa tänkbara lösningar.
En viss gren inom PDE kallas "teorin för fria ränder". Denna teori studerar speciella fenomen där flera faser, styrda av olika differentialekvationer, förekommer samtidigt. Namnet "fri rand" är kopplat till fasbyte. Ett enkelt exempel är smältningsprocessen hos en isklump där fria randen är just den gräns som skiljer de två olika faserna, vatten och is. Svårigheten med sådana problem är att apriori vet man inte var denna gräns finns och att hitta denna gräns är en del av problemet.
Andra nämnvärda exempel är tumörtillväxt, förbränningsprocesser (speciellt högenergiprocesser inom kärnkraft) och värdesättning av optionskontrakt inom finans.
Forskningsprojekten handlar till stor del om fria ränder och deras geometriska och andra kvalitativa egenskaper. Det är i huvudsak två typer av frågestälningar som projektet behandlar. Den ena handlar om att visa existensen av lösningar för så kallade Bernoulli-flöden, som är en matematisk modell som beskriver relationen mellan olika intilliggande flöden och den balans som råder mellan dessa. Den andra frågestälningen handlar om att visa kvalitativa egenskaper, såsom optimal regularitet, hos den fria randen.
Under de senaste 2-3 åren har de deltagande parterna i projektet utvecklat nya metoder för att studera mer komplicerade problem, där fria ränderna är inte regulära utan det finns så kallade singulära punkter hos fria randen. Dessa fenomen förekommer ofta inom tillämpningar, såsom komposita material, förbränning av syntetiska material, och stjärnors själv-graviterande rotationsflöde.
Genomförandet av själva projektet sker och har skett genom täta besök hos varandra och speciellt har flera av våra doktorander vistats en längre period (upp till 6-månader) vid samarbetarparternas institutioner. Vi har även anordnat flera konferenser inom området och har försökt knyta till oss andra experter utanför projektet.
Henrik Shahgholian
Matematiska Institutionen
KTH
Senast uppdaterad: 06-12-07 11:03
